Los Números Enteros

Introducción:
La familia de los números ha acompañado a la humanidad desde los tiempos más primitivos y sigue hoy al servicio de nuestro progreso. A lo largo de cinco milenios, distintas clases de números han ido surgiendo para resolver problemas cada vez más creativos.
Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, nuestra vida es hoy en día inconcebible sin los números.
En cada actividad humana sea técnica, comercial, científica o simplemente práctica los números han jugado un papel muy importante.

Historia de los Números Complejos
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
En Italia, durante el periodo del renacimiento, por vez primera los Algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el cerco misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Los números complejos fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación:   x2 + x + 5 = 0
No posee soluciones reales. Si empleamos la conocida formula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de las geometrías. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.
Con el surgimiento del Álgebra durante la Edad Media, el concepto de numero se amplia, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y formulas serian el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarían  libres de sus equivalentes geométricos

CARDANO:
La vida del matemático italiano Girolamo Cardano esta llena de historias, situaciones y aventuras interesantes. Fue un destacado matemático, como también medico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseño geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azoto a Milán y sus padres se trasladaron a Pavia. Allí nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501.
Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Mas tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de Medico. Después de recibir el titulo se dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas, dados y ajedrez., fue un jugador empedernido durante toda su vida.
Su adición por el juego lo llevo a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplico en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. El lado oscuro de esta realidad feliz, es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego.

En su tiempo libre comenzó a dedicarse seriamente a las matemáticas  En el año de 1539, Cardano conoce al celebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático con reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. Se debe a este matemático, la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano. Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que el estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento.

En realidad, la formula para resolver la ecuación cúbica, habrá sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien publico un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa.

El libro de Cardano, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyo al desarrollo del Algebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la x2 en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrollo un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales.

Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y considero la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela.

En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo, la expresión
                                 (5 + p¡15)(5 ¡ p¡15) = 25 ¡ (¡15) = 40

Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación: x3 = 3px + 2q
Cardano nos da la formula
Conocida como Formula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano

BOMBELLI
La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma mas inesperada. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna formula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica.
Por ejemplo, la ecuación: x3 = 6x + 6
Se resuelve usando la formula
La solución parece un poco compleja, sin embargo, se sabe por métodos de calculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3, la cual es, aproximadamente x »=2,8473. Nos preguntamos entonces ¿Como es posible que una expresión de números complejos nos de un resultado real?
Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia, no recibió una educación formal como Cardano, pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Climenti, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniera, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes.
Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre Algebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho mas comprensibles para el público.
Estando en la región de val. de Chiana, haciendo un trabajo de agrimensura, debió pasar muchos ratos de ocio, pues las obras fueron suspendidas, para utilizar este tiempo libre, Bombelli comienza a escribir un libro de Álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra en cinco volúmenes, donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, sólo pudo completar tres volúmenes, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte.

Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrolló el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma  a + b -1. Hemos visto en la formula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo la idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo a + b  -1, para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número a + b  -1 debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo 3  c + d  -1: Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica.

En el libro L'Algebra, aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de Bombelli al Álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de  -1, como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:
Siendo n un número natural.

A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la ecuación cúbica, los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos.

En 1673 el matemático inglés J.Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos:
1) En la ecuación cuadrática
                                                   x2 + 2bx + c2 = 0
Las raíces son
2) Si b ¸ c, las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos P1y P2 sobre los números reales, de acuerdo a la construcción siguiente:
3) Si b < c, entonces las soluciones son números complejos. ¿Cómo razonaba
Wallis en este caso? Pues bien, siguiendo el mismo plan, los puntos P1 y P2 se hallan en el extremo de el segmento b, y como éste es más corto que c, los extremos no pueden tocar la recta real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos P1 y P2 están por encima de la recta real. Ver la figura:
Como vemos, la representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena aproximación, sin duda alguna. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand. Ver la figura:
Con esta representación, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi, y la representación geométrica de los mismos.

Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podría sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del Álgebra. Desde ese momento se inicia un desarrollo de la teoría de las funciones complejas, de la mano de matemáticos como Hamilton y Cayley, quienes crearon los sistemas híper complejos, Cauchy, quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. Riemann, quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática, creando una nueva ciencia llamada la topología.

CONTENIDOS TEORICOS…
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que [pic]. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
    • Suma
     
    • Multiplicación
     
    • Igualdad
     
Al primer componente (que llamaremos a) se la llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0.

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único de ℂ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un sub cuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

 Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como de donde se deduce inmediatamente que,
  
Representación binomial
Un número complejo se representa en forma binomial como:
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación: Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo. El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia
Valor absoluto o módulo de un número complejo El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde                  cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
Para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

        Conjugado de un número complejo
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como [pic]ó [pic]) es un nuevo número complejo, definido así:
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica
Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.
Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.
Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z |.
Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado [pic].
La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo [pic]:
Módulo y argumento
En esta representación, [pic]es el módulo del número complejo y el ángulo [pic]es el argumento del número complejo.

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:
Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
La cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según la Fórmula de Euler, vemos que:
No obstante, el ángulo φ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:
Aplicaciones de los números complejos en el ámbito intra matemático
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica (Para sumar o restar, simplemente sumas o restas por separado las partes reales e imaginaria. El número "i" es la raíz cuadrada de -1. Entonces:
                                               i2 (i al cuadrado) te da -1
                                                              i3 = -i
                                                             i4 = +1.
Los electrónicos (y eléctricos) usamos mucho la letra i como símbolo de intensidad, por lo tanto la reemplazamos por la jota para no confundir) y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada (La frecuencia de la corriente alterna (C.A.) constituye un fenómeno físico que se repite cíclicamente un número determinado de veces durante un segundo de tiempo y puede abarcar desde uno hasta millones de ciclos por segundo o hertz (Hz).
En esta ilustración se puede observar a la izquierda, la representación gráfica de una onda sinusoidal de. Corriente alterna con una frecuencia de un ciclo por segundo o hertz, mientras que a la derecha aparece... la misma onda, pero ahora con cinco ciclos por segundo de frecuencia o hertz.)
. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica (En física, la mecánica cuántica (conocida también como mecánica ondulatoria) es una de las ramas principales de la física que explica el comportamiento de la materia. Su campo de aplicación pretende ser universal, pero es en el mundo de lo pequeño donde sus predicciones divergen radicalmente de la llamada física clásica) cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial (Esta teoría se basaba en el Principio de relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las relaciones del movimiento y de la energía cinética para que estas también se mantuvieran invariantes). y la relatividad general (publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916. El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.), algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales(Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.)
 cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) [pic]de la ecuación característica, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: [pic].
Los fractales (Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.)
 Construcción de la alfombra de Sierpinski.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.
Aplicaciones de los números complejos en el ámbito extra matemático.
Se pueden aplicar en las en las ciencias de la tierra y el espacio, agronómicas, medicas, tecnológicas…
                                LIBROS DE TEXTO – ANALISIS
MATEMATICA I – Santillana – Polimodal – Autores: KACZOR, Pablo J., SCHAPOSCHNIK, Ruth A., FRANCO, Eleonora, CICALA Rosa a., DIAZ, Bibiana H.

El tema de números Complejos se presenta en la primera unidad, junto con los números Reales.
Este libro en tres renglones da cuenta de por qué surge el campo numérico. No especifica ni la historia, ni quiénes fueron los matemáticos que trabajaron y lograron descubrir los números complejos.
Trabaja una conexión con el resto de los campos numéricos, para su introducción.
Define la unidad imaginaria. Da ejemplos para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Identifica las partes de un complejo. Por último presenta una breve explicación de cómo se representan en el plano los mismos y porque.
Personalmente consideramos que es una explicación muy básica, no especifica operaciones, se presentan ejercicios de aplicación, consideramos que ya que el libro está destinado a cuarto año, la presentación del tema debería ser un poco más extensa en cuanto a contenidos, explicaciones no tan concretas y es un tema para profundizar aún más.
En cuanto a este libro de la década del 60’ aproximadamente, éste al comenzar con la unidad de números complejos, realiza una breve introducción  aclarando en forma implícita los contenidos previos que se deben a conocer “el campo de los números reales, los números negativos, las propiedades de logaritmo y las propiedades de la raíz, haciendo referencia a aquellas de índice par. En ningún momento ha hecho referencia al surgimiento de éstos números.

Luego de esta presentación define la unidad imaginaria y su escritura, a continuación define los números complejos, luego hace referencia de las operaciones que se pueden realizar con los números complejos, nombrando la suma de un numero complejo, suma de un numero real y un numero imaginario puro, complejos conjugados, en cada definición le sigue en forma inmediatamente un ejemplo fácil de resolver… suma de complejos conjugados, resta de numero complejos conjugados, multiplicación (dentro de esto hace referencia a la propiedad distributiva y asociativa), producto de complejos conjugados, división de complejos, potencia de números complejos.
La manera en la cual los temas están presentados es de una forma estructurada y constantemente esta guiando al a alumno, conduciéndolo, en cada ejemplo explica paso a paso cómo resolverlo, en este libro se nota que se le debe mayor importancia a la parte práctica que a la teórica, la cantidad de ejercicios que se plantean son cercanos a los 174, los alumnos están guiados por una conducta inductiva del docente.
Los textos que se presentan de ejercicio a ejercicio predicen los resultados de manera que los alumnos no podrían hacer una puesta en común o el docente provocar una fase de investigación.

Los temas de una unidad no es concatenada no parece existir un hilo conductor.
La unidad número 7 consta de 10 apartados, donde en el apartado 7-7 comienza con el tema de los números complejos previamente de la unidad 7-1 hasta la 7-6 hace referencia a los contenidos previos como expresiones de radicales. En cada unidad hace referencia a los objetivos de la unidad “expresar la raíz cuadrada de números negativos y su productos en términos de i”.

No hace referencia a la historia de los nueros complejos. Como introducción aclara qué son los números complejos, a continuación da ejemplos, luego define números imaginarios habla sobre la potenciación de i, luego define el concepto de números complejos, hace una breve explicación de por qué imaginarios y por qué números complejos, planteando los objetivos de la unidad: sumar o restar números complejos, no se especifica la suma de números complejos ni la resta y en este caso por medio de ejemplos presenta esas operaciones.
En modo de desafío, después de los ejemplos plantea: “intente lo siguiente”, de esta manera le permite al lector realizar una breve investigación y en cuanto al docente le permite realizar la fase de investigación y la puesta en común, de modo que habrá una brecha de libertad para resolverlo, antes de terminar cada unidad se presentan ejercicios, en esta unidad son aproximadamente 64.

En la siguiente apartada 7-8 hace referencia a la representación grafica utilizando los números imaginarios… objetivos: “representar gráficamente números complejos en el plano”.
Valor absoluto, objetivo: “encontrar el valor absoluto de números complejos”. Definición. Ejemplo. La cantidad de ejercicios que se plantean en este aparatado son cercanos a los 29.

Apartado 7-9, igualdad de números complejos. Multiplicación, conjugados complejos, división y recíprocos.
Apartado 7-10, ecuación de un complejo, raíces cuadradas de números complejos- en cada ejercitación al termino de la unidad uno de los ítems se llama, pensamiento crítico donde  se plantea una situación problemática donde se deja al lector actuar, sin imponer procedimientos, otro apartado llamado reto, estos ejercicios o situaciones problemáticas resultan un tanto elevadas o complejas, ya que  se requiere de tener los conocimientos previos frescos y por otra parte llegar a relacionar estos conocimientos previos con los nuevos conocimientos.
Encuesta de Números Complejos para el docente

   1. ¿Está programada la unidad de números complejos? ¿Para qué curso? ¿Considera que antes sería imposible ensañarlo? Y después ¿Por qué no?
   2. ¿Por qué se enseña números complejos? ¿Qué importancia tiene ese contenido? ¿Tiene aplicación? ¿En qué?
   3. ¿Cómo cree usted conveniente presentar el tema? ¿Considera importante presentar la historia de los números complejos? ¿Qué conocimientos previos son necesarios en el alumno para plantear el tema? ¿Qué tipos de ejercicios o problemas hacen los alumnos?
   4. ¿Qué jerarquía de contenidos utiliza a la hora de enseñar el tema? ¿Por qué? ¿Qué contenidos considera indispensables para el alumno? ¿Deja usted algunos contenidos sin enseñar? ¿Cuáles? ¿Por qué?
   5. ¿En qué momento del año está planificado trabajar el tema? ¿Es un tema que “se sacrifica” si no hay tiempo? ¿Resulta obsoleto? ¿Se incorporan otros temas que sustituyan a éste? ¿Cuáles? ¿Por qué? ¿Qué importancia tienen?
   Respuestas de la profesora Castello, Analía Gabriela:
   1. Si, está programada para cuarto año.
      Creo que sería posible siempre y cuando se hayan dado los otros conjuntos numéricos, para que de esta forma los alumnos logren una construcción del conocimiento ordenado, lógico. Creo que la currícula en el área de la matemática es tan extensa que hay contenidos más importantes para los alumnos de años superiores. Personalmente no lo daría en otro año.
   2. Creo que en muchas ocasiones los contenidos matemáticos no presentan para el alumno una aplicación directa, lo que lleva a preguntas del tipo: “esto para que me sirve????”, sin embargo estos contenidos desarrollan en los alumnos un razonamiento lógico, critico (sin que ellos lo perciban).
      Por otra parte al enseñar números complejos mostramos a los alumnos que el matemático no se queda con la idea de que hay cosas que no tienen solución (como una raíz negativa) y que para ello se desarrolla un nuevo conjunto numérico.
   3. Se los presenta mostrando como a partir de algunas ecuaciones vamos necesitando distintos conjuntos numéricos, naturales, enteros, racionales, reales y por ultimo para ecuaciones del tipo  x2 + 16 = 0 es necesario introducir otro conjunto numérico. Los alumnos necesitan tener las operaciones básicas en claro y saber graficar en sistemas de coordenadas cartesianas.
   4. Presentar el tema a partir de la resolución de ecuaciones
      Presentar la unidad imaginaria.
      Definición de números complejos. Partes de los mismos.
      Representación grafica de números complejos.
      Operaciones con números complejos.
      El contenido de da de esta forma porque resulta se lo más lógico para los alumnos. No se enseña la forma polar de los complejos. El recorte se hace por falta de tiempo y no porque el contenido sea poco significativo.
   5. Se da a mitad de la primera etapa. No se sacrifica ni se cambia por otros ya que de no ser dado en cuarto año no será enseñado en años superiores.
    Respuestas de la profesora: Beas, Lorena M.
   1- Si está programada la unidad de números complejos para el primer año de polimodal. Considero imposible enseñar esta unidad antes, pues el alumno primero debe conocer y comprender el conjunto de los números reales en su totalidad, el concepto de función, función cuadrática, resolución de ecuaciones de segundo grado.
      Después del primer año de polimodal puede enseñarse, pero postergaría la enseñanza de otros conceptos posteriores que al final resultan desechados por falta de tiempo.
   2- Los números complejos se enseña para que el alumno comprenda la limitación de los números reales a la hora de encontrar soluciones de raíces de números negativos. Tienen una importancia significativa si consideramos, que conocerlos nos ayuda a resolver ésta problemática y más aún comprender el extenso  mundo de la matemática, si hablamos particularmente en este caso, de un conjunto de números puramente imaginarios.
      Si tiene aplicaciones en numerosas disciplinas tales como física, ingeniería electrónica, telecomunicaciones, aerodinámica, etc.
   3- Es conveniente presentar el tema a partir de una situación problemática donde se proponga resolver una ecuación de segundo grado cuya solución no sea real.
      Considero muy importante detenerse a dialogar sobre la historia de los números complejos, puesto que los alumnos van a sentirse identificados en su descubrimiento, sabiendo que surgen a partir de ésta misma problemática que a ellos se les ha planteado.
      Se les propone a los alumnos resolver problemas que incluyen ecuaciones de segundo grado con raíces complejas, operaciones con números complejos, representación de números complejos, determinación del conjugado, módulo y argumento de un número complejo, entre otros.
   4- La Jerarquía de contenidos consiste en, luego de presentar un problema como antes hemos mencionado desarrollar:
   1) Definición de Números Complejos;
   2) Raíces complejas de la ecuación de segundo grado;
   3) Propiedades de números complejos;
   4) Forma binómica de un número complejo;
   5) Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica;
   6) Conjugado de un número complejo
   7) Módulo y argumento de un número complejo
      Como tema indispensable a la hora de enseñar dicha unidad resulta la comprensión en su totalidad de la definición de números complejos, cómo y porqué nace básicamente tal conjunto de números.
      Como contenido postergado al año siguiente, es decir tema que dejo sin enseñar este año, es  todo aquello que concierne a la forma trigonométrica de un número complejo, representación, operaciones, etc. Considero que el alumno necesita asimilar en primera instancia los temas propuestos para luego comprender  el número complejo en la trigonometría.
   5- El tema está planificado para trabajarse a comienzos de la segunda etapa. No creo que sea correcto sacrificar dicho tema, en mi caso considero conocimientos de suma importancia que el alumno en esta instancia no debe ignorar. Por otra parte, si de tiempo se trata, no es un tema que conlleve, con una buena planificación, demasiadas horas cátedras.

      Encuesta Alumno
   1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
        a. x2 + 1 = - 35
        b. 2x2 + 3 = - 29
        c. x2 + 3 = 0
   2. ¿Escuchaste hablar de números imaginarios? ¿En qué año? ¿Qué recuerdas de este tema?
   3. ¿Quién es la unidad imaginaria? ¿Qué recuerdas de ella?
   4. ¿Cómo se llama a la expresión a + bi?
   5. Dados los siguientes números imaginarios resuelve las operaciones planteadas.
                             z  = (3 ; 8)       z  = (-4 ; 5)        z  = (-3 ; -6)
     a. z  +  z  =
     b. z  -   z  =
     c. z   +  z  + z =
Trabajo de investigación de los Números Complejos
Profesora: Estela Nieto
Profesorado en E.G.B. 3 y Polimodal en Matemática.4toaño.
Mayo 2009.
Realizado por: Flavia Petrello
               Silvina Ponzo
PARA QUÉ Y QUÉ  ENSEÑAR
En Matemática consideramos que el sentido de su enseñanza se encuentra fundamentado en la necesidad de desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente.
Esta se entiende como el desarrollo de las capacidades de razonar en forma crítica, objetivar una situación, analizar con el fin de entender su estructura, implementar estrategias de resolución adecuadas a ella y capacidad de evaluar la razonabilidad de os resultado
OBJETIVOS
· Relacionar, interpretar, modelizar, estimar, verificar aplicado a la resolución de problemas.
· Localizar, situar, ordenar, representar para lograr una correcta ubicación en el espacio.
· Traducir, transferir, reconocer para la interpretación de códigos de comunicación.
QUÉ Y CUÁNDO ENSEÑAR
En el C.B.U. el aprendizaje de una Matemática basada en situaciones concretas y el inicio de pequeñas formalizaciones que irán en aumento en forma gradual.
En el C.E. el trabajo con una Matemática formal que no sólo se fundamente en la utilidad de la misma como herramienta, sino que también presente la estructura interna de la disciplina.
A continuación se detallan los contenidos actitudinales a desarrollarse en los dos ciclos.
 □ Respeto, que implica:
 • Tolerar
 • Aceptar
 • Convivir
 • Compartir
 □ Solidaridad, que incluye:
 • Compañerismo
 • Amistad
 • Sentido de equipo
 • Aprendizaje cooperativo
 □ Creatividad, que supone:
             • Imaginar
             • Representar
             • Manipular
             • Inventar
¿CÓMO ENSEÑAR?
El cómo enseñar depende de condicionantes tales como las características del grupo, los conocimientos previos, las particularidades del contenido a enseñar y su secuenciación, acompañada por las actividades que se promueven dentro de cada una y la forma de organización del alumnado más conveniente.
En el presente trabajo se dará a conocer una secuencia didáctica para llevar a cabo la enseñanza del contenido “Números Complejos”.
En este marco se entiende como secuencia didáctica a la organización de los grandes momentos que van a ocurrir en la clase, es decir todo aquello que va a acontecer en el aula para hacer posible el abordaje del contenido “Números Complejos”.
Esta secuencia didáctica se define de acuerdo al contenido que deseamos enseñar, a los conocimientos previos que disponen los alumnos en relación a este contenido, los objetivos a lograr por parte del alumno, los conocimientos que posee el docente de ese contenido y sus creencias en cuanto lo didáctico, entre otros elementos.
Aspectos a considerar en la elaboración de la secuencia didáctica
Se tendrán en cuenta:
      ✓ Contendidos Conceptuales: Historia de los Números Complejos- Notación– Representación Gráfica – Opuesto de un     Número complejo – Conjugado de un número complejo – Potencias de i (unidad imaginaria) – Operaciones con números complejos: Suma, resta, multiplicación  y división
      ✓ Contenidos Procedimentales:
                  Representación de los números complejos en el plano
                  Expresar los números complejos acorde con las operaciones que se realicen
                 Identificación números complejos en diversa situaciones problemáticas
                ✓ Conocimientos previos del alumno:
            Identificación de los números reales.
            Ubicación en el plano cartesiano.
            Representación y  resolución de funciones cuadráticas.
Objetivos a lograr por parte del alumno:
      1- Identificar el campo de los números complejos
      2- Graficar números complejos en los ejes de coordenadas
      3- Operar con números complejos mediante la resolución de ejercicios
      4- Verbalizar el procedimiento de resolución de ejercicios
     1- Respetar los distintos procedimientos de resolución en las situaciones de verbalización.
CLASE Nro 1:
Introducción a los números complejos
Fase I: Presentación de los Números Complejos
La docente comienza la clase comentando: la necesidad de ampliar el campo de los números Reales, explicando que: Cuando aprendemos a contar estamos utilizando números naturales, es por eso por lo que cuando se habla de conjuntos numéricos se suele comenzar por el conjunto de los números naturales (N) y se va ampliando progresivamente según lo vamos necesitando.
Vamos a ir viendo las sucesivas ampliaciones hasta llegar a R y como este conjunto es insuficiente.
A continuación junto con los alumnos se realizaran las sucesivas aplicaciones
Fase II: Investigación
Los números naturales son 1, 2, 3,.. (El 0 no es un número natural).
Los números enteros aparecen cuando queremos hacer operaciones del tipo 1–2, que no tienen solución en N. Los números enteros (Z) son 0, 1, –1, 2,
–2,...
Los números racionales surgen cuando intentamos hacer algunas divisiones como 1/2. Los números racionales (Q) son:
                                 [pic] Donde p y q [pic] Z, y q ≠ 0;  con p y q irreducibles
Esto significa que cualquier cociente de números enteros en el que el denominador no sea 0 es un número racional.
Los números racionales también se pueden escribir como números decimales.
Los números irracionales son los números decimales que no son racionales. Estos números aparecen al calcular raíces como[pic]
Para diferenciar a los irracionales de los racionales basta con escribirlos en forma decimal. En este caso los números con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, son irracionales; y los restantes (es decir, los periódicos o los que tienen un número finito de decimales) son racionales.
El conjunto formado por la unión de racionales e irracionales se llama R, son los números reales.
Sin embargo nos volvemos a encontrar con problemas del tipo[pic], para resolverlos ampliaremos el conjunto de los números reales. Llegamos así a los números complejos, que representamos por C.
Fase III: Puesta en común
Conclusión:   Toda raíz con índice par y radicando negativo, puede expresarse como i
La docente escribe en el pizarrón la función  y =  ax² + bx + c, preguntando a las alumnas si reconocen la expresión y solicita a una alumna que escriba la fórmula resolverte para las ecuaciones cuadráticas:  [pic]     recordando que la formula del   discriminante (D) es: b²-4ac.  La docente presenta 3 ecuaciones cuadráticas diferentes, solicitando a 3 alumnas, que pase al pizarrón y que cada calcule las correspondientes raíces:
   a) x²-4x+3 = 0, solución: dos raíces reales y distintas: 1 y 3. -  D > 0
   b) x²-2x+1 = 0 , solución: dos raíces reales iguales : 1. -  D = 0
   c) x²-6x+11 = 0 , No tiene solución en el campo de los números reales  -   D < 0
La ecuación c, no tiene solución en el campo de los números reales. Para resolver problemas de este tipo, en 1777 el matemático suizo Leonard Euler introduce el símbolo i (imaginario).
                                                       Donde [pic]i
Entonces:
                   [pic]
A los números:   [pic]   se los llama: Números Complejos
Fase IV: Síntesis e Institucionalización
La docente explica y escribe en el pizarrón  que a los números de la forma
a + bi, los llamamos Números Complejos. Se suele utilizar la letra Z para designar un número complejo
      Z = a + bi  (forma binómica)
 a  y  b son números reales
 a  es la parte real de Z
 bi  es la parte imaginaria de Z
Un número complejo como Z = 3i, cuya parte real es nula, se llama  imaginario puro
A continuación la docente explica que los números complejos pueden representarse gráficamente.
Representación gráfica de los números complejos: Los números complejos se representan mediante vectores.
En el eje horizontal representamos la parte real del número complejo, por eso se lo llama EJE REAL. En el eje vertical representamos la parte imaginaria del número complejo, por eso se le llama EJE IMAGINARIO
La docente escribe en el pizarrón el siguiente ejemplo:
                                            Eje imaginario
      Z = 4 + 2i   2
     1
             1    2   3    4    Eje Real
El número complejo Z = 4 + 2i  se puede representar como el vector  V = (4;2)
La docente escribe en el pizarrón la siguiente actividad para que las alumnas pasen al pizarrón para realizarla
Actividad: Representa gráficamente los siguientes números complejos:
               a) Z = 5 + 2i  b) Z = 4 - i  c) Z = -3 + i
d) Z = -4 + 3i  e) Z = 5i  f) Z = -1 + i
g) Z = -3 – 2i  h) Z = -2i  i) Z = 2 – 2i
CLASE Nro 2: Opuesto y conjugado de un número complejo
La docente explica el concepto de opuesto y conjugado de un número complejo
Si tenemos: Z  =  a + bi, podemos definir:
Opuesto de Z =  - Z =  - (a + bi)  =  -a – bi     donde la parte real y la parte imaginaria  son opuestas
Conjugado de Z  = Z  =  a – bi   la parte real es igual y la parte imaginaria  es opuesta
La docente escribe en el pizarrón los siguientes ejemplos:
a) Z1 = -2-2i          -  Z1 =  -2+2i   - Z1 = 2+ 2i
b) Z2 = 4i              -  Z2 =  -4i                    - Z2  = -4i
c) Z3 = 6               -  Z3 = 6                       - Z3 = -6
Actividad: Representa gráficamente los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados:
a) Z1 = 3-5i  b) Z2 = 5+2i  c) Z3 = -1 -2i
d) Z4 = -2 +3i  e) Z5 = 2- 2i  f) Z6 = 1-5i
CLASE  NRO  3: Operaciones con números complejos: Suma
La docente comienza explicando que con los números complejos se pueden realizar operaciones: Suma, resta, multiplicación, y división.
Escribe en el pizarrón:
Z1 = 2 + 3i   y    Z2 = 1 – 5i
Efectuamos: Z1 + Z2  =   (2 + 3i) + (1- 5i) =
La docente explica que para realizar la suma de dos números complejos: a la parte real de Z1, se le suma la parte real de Z2; a la parte imaginaria de Z1 se le suma la parte imaginaria de Z2.    La suma de dos números complejos es siempre otro número complejo.
Entonces:  (2 + 3i) + (1-5i) =  (2 + 1) + (3i – 5i) =  3 – 2i
La docente reparte una copia a cada alumna para que realicen ejercicios de aplicación:
Actividad: Realiza la suma de los siguientes números complejos
a)  (3+i) + (1-3i) =    b) (-5+3i) + (6+4i) =
c)  (5- 4i) + (-1-i) =    d) (-3 + 2i) + (3 + 5i) =
e)  (-3 +7i) + (2 – 4i) + (4 + 5i)=                   f) (7 + 2i) + (-4-6i) =
g) (4 + 5i) + (2i) + (5 + i) =   h) (6  + 12i) + (4) + (6 – 7i) =
i)  (-2 + 3i) + (17 – 5i)  =   j)  (-6 + 18i) +(13 – 4i) =
k)  (7 – 15i) + (-8-6i) =   l)  (14 + 2i) + (-8-3i) =
m) (9i) + (-12-7i) =    n)  (-6i) + (-1+8i) =
CLASE  Nro  4:   Operaciones con números complejos : Resta
Se inicia la clase con la corrección de los ejercicios de la clase anterior. Las alumnas pasarán al pizarrón a resolverlos
La docente explica que teniendo dos números complejos se puede realizar la resta entre ambos.
Por ejemplo:
Z1 = (4 – 3i)     y      Z2 = (-2 + 5i)
Para restar dos números complejos se restan las partes reales entre sí y la parte imaginaria entre sí. Entonces:   Z1 – Z2  = (4 – 3i) – (-2 +5i)
Es decir a Z1 le sumo el opuesto de Z2.
Z1 – Z2  =  (4 – 3i) + (2 – 5i)
             =  (4 + 2) + (-3i – 5i)
  =   6 – 8i
Actividad: La docente reparte una copia a cada alumna para realizar ejercicios de aplicación.
Dados: Z1 = -2 + i
 Z2 = 3 + 5i
 Z3 =  4 – i
Resolver las siguientes operaciones:
a) Z1 + Z2 – Z3 =  b) Z2 – Z1 + Z3 =
c) Z1 – Z3 =   d) Z3 – Z1 =
e) (Z3 + Z2) – Z1 =  f) Z3 – Z2 – Z1 =
g) Z2 – Z1 + Z3 =  h) Z2 – Z1 =
i)  Z2 – Z1 =   j) Z1 – (-Z2) =
CLASE  Nro  5:   Potencias de i
La clase se inicia con la corrección de los ejercicios de la clase anterior, las alumnas pasarán al pizarrón a resolverlos.
Luego la docente explica  como se pueden calcular las distintas potencias de la unidad imaginaria i.  Sabiendo que: [pic]
Entonces:
  [pic]
La docente hace notar que los resultados de resolver las potencias se repite cada 4 potencias sucesivas.
Para hallar [pic], basta dividir n entre 4, y el resto de la división entera será el nuevo exponente. Al ser el divisor 4, el resto sólo puede valer 0,1,2 ó 3.
Así para efectuar:
  [pic][pic] , haremos   243    4
                                                     03     60
    El resto de la división nos indica el nuevo exponente
Entonces:
    [pic]
Actividad: Calcular las siguientes potencias de i
  [pic]
CLASE  Nro 6:    Operaciones con números complejos: multiplicación.
La docente explica que la multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que: i² = -1
Ejemplo.  Z1 =  (4 + 3i)
                 Z2 =  (1 – 5i)
Z1. Z2 =  (4 + 3i).(1 – 5i)
Aplicamos propiedad distributiva:=(4 + 3i) . (1 – 5i)
           =  4.1 – 4. 5i + 3i.1 – 3i .5i
           =  4 – 20i  + 3i  - 15i²            donde:  i² = -1
           =  4 – 17i – (15)(-1)
           =  4 – 17 i  +  15
           =  19  -  17i
Otro ejemplo:
  Z1 = (2 + 3i)
  Z2 = (6 - 4i)
Z1. Z2 = (2 + 3i). (6 - 4i)
Aplicamos propiedad distributiva:= (2 + 3i). (6 - 4i)
           = 2(-6) + 2(-4i) + 3i (6) + 3i(-4i)
           = -12 – 8i  + 18i - 12 i²            donde:  i² = -1
           =  -12 + 10i  + 12
           =  10i
La docente a continuación escribe en el pizarrón los siguientes ejercicios:
Actividad: Dados   Z1 = (-5 + 2i)
            Z2 = (6i[pic])
            Z3 = (4 + 8i[pic])
            Z4 = (-9 – 7i)      Resolver las siguientes operaciones:
 a)  (Z1 + Z2). Z3 =    b)  Z2. Z3 =
 c)  Z1. Z2. Z3 =    d)  (Z3 + Z1). Z2 =
  e)  Z2. Z4 =     f)  (Z3. Z1) + Z2 =
 g)  Z4. Z1 =     h) (Z1)². Z2 =
 i)  (Z3)² (Z1)² =    j)  (Z3 + Z1). Z4 =
 k) (Z1)³. Z2 =      l)  (Z4)². (Z3)³ =
CLASE Nro 7:   División de números complejos.
Se inicia la clase con la corrección de ejercicios de la clase anterior. Las alumnas pasan al pizarrón y explican cómo se resuelven los ejercicios.
Luego la docente explica la división entre números complejos. Da el siguiente ejemplo en el pizarrón:
  Z1= 5+2i   y    Z2= 4-3i
Entonces: Z1 /  Z2 , para  dividir números complejos, se expresa en forma de fracción y se racionaliza el denominador, multiplicando ambos términos de la fracción por el conjugado del denominador.
Z1 = 5+2i  =  5+ 2i    4+3i
Z2     4-3i       4-3i      4+3i        (4-3i).(4+3i) Producto de binomios conjugados
Aplico propiedad distributiva:  = 5(4)+5(3i)+2i(4)+2i(3i) =
             (4)²- (3i)²
       = 20 + 15i + 8i + 6i²        donde i² = -1
                            16. - 9i²
                         = 20 + 23i + 6 (-1)
                                  16 – 9(-1)
                         =  20 + 23i  - 6
                                 16 + 9
                         =  14 + 23i
                                  25
                         =   14  +  23 i
                           25. 25
Se escribe a continuación en el pizarrón los siguientes ejercicios:
Actividad:    Dados los siguientes números complejos:
  Z1 = 3 – i
  Z2 = -4i
  Z3 =  7 + 2i
Efectuar las siguientes divisiones con los números complejos dados:
      a)   Z1: Z2  c) Z3 : Z2  e) 16 ( Z3 : Z2)
      b)   Z1 : Z2  d) Z2 : Z3  f)  1 : Z1
CLASE Nro 8:   Integración de ejercicios: adición, sustracción, potenciación, multiplicación y división con números complejos.
La docente escribe en el pizarrón los siguientes ejercicios para ser resueltos:
Actividad: Dados Z1 = 3 + 2i     Realizar las siguientes operaciones.
         Z2 =  -4 -5i
         Z3 = 7 + i
         Z4 = 12 – 5i
a)   (Z1: Z2)  + Z3 =     b)  (Z4 : Z1) – (Z2 : Z3) =
c)   Z4 . (Z1 : Z2) =     d)  4 Z1  -  (Z3 :  Z1) =
e)  (Z2) ² + (Z1: Z4) =      f)  3 Z3  +  Z4  - (Z2 : Z1) =
CLASE Nro 9:   Integración de ejercicios: adición, sustracción, potenciación, multiplicación y división con números complejos.
La clase se inicia con la corrección de ejercicios de la clase anterior, las alumnas pasan al pizarrón, resuelven y explican los ejercicios.