Razon de Cambio
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
En general, en una relación funcional , la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente se calcula mediante un proceso de límite --de la razón , denominada cociente diferencial.
En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.
Ejemplo
En la función lineal , no es necesario tomar el límite pues y la t se cancela en la razón sin necesidad de pasar al límite.
Nótese que es la pendiente de la recta . Y es la razón de cambio de la altura (variable dependiente) respecto a la (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura por unidad de cambio (aumento) en la .
En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.
Término usado para referirse a la relación entre dos cantidades (expresadas en las mismas unidades) mediante la división. Se dice "en razón de a " para denotar que hay unidades de la primera y de la segunda. Generalmente expresada como o bien como . "Una de cal y tres de arena" "El baricentro divide a la mediana en razón de 2 a 1 partiendo del vértice" (Es importante destacar que --en estos ejemplos-- la cantidad de cal no es 1/3 del total sino 1/4, y que la distancia del vértice al baricentro es 2/3 de la mediana.)
Su uso debería estar restringido a contextos en que hay dos cantidades que varían pero que, sin embargo, su razón se mantiene constante. Es decir, a contextos en que las cantidades son directamente proporcionales. "Si dos pelotas pelotas cuestan 28 pesos entonces 6 pelotas cuestan..."
El cociente diferencial de la función se define como
Es importante no sólo porque, al tomar el límite cuando tiende a cero resulta la derivada de la función, sino también porque admite la siguiente interpretación --fundamental para la comprensión de la derivada y para sus aplicaciones:
El cociente diferencial es la pendiente de la secante (recta que corta a la gráfica de ) que pasa por los puntos y
Es debido a esta interpretación del cociente diferencial que se dice que:
La derivada es la pendiente de la tangente a la curva (la gráfica de f(x)) en el punto (x,f(x)).
Asimismo, la se interpreta como una variación de la y debe considerarse pequeña (puesto que a final de cuentas "se va a ir a cero").
29 abr 2011
Proporcionalidad
Proporcionalidad
Primero empezare explicando lo que es proporcionalidad que es una relación entre magnitudes medibles, es decir, que es de un uso muy común entre las personas dentro de su vida cotidiana ya que les ayudan a resolver problemas que se le presenten, existen diferentes tipos de proporcionalidad como lo son la directa, la inversa y la mixta. En la proporcionalidad se puede usar la regla de tres simple.
Proporcionalidad Directa
En esta las cantidades son proporcionales ya que al aumentar una cifra aumenta la otra, en esta es fácil de encontrar la incógnita ya que normalmente en un problema se proporcionan las otras dos cantidades y con esta es muy fácil obtener la respuesta ejemplo:
El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670€ por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto hacendera la factura de un segundo pedido de 17 cajas?
25 cajas ------------ 670€ 17.670
17 cajas ------------- X 25
En este problema se demostró como la proporción es directa ya que al disminuir uno disminuye el otro y es por eso que se dice que es directa, este tipo de proporción se puede emplear en una tienda o en los salarios de un trabajador ya que es algo que necesita este cálculo.
Proporcionalidad Inversa
Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo. En este tipo de proporcionalidad es común ver que mientras una cantidad disminuye la otra aumenta o viceversa mientras una aumenta la otra disminuye, es como un dicho que dice “entre menos burros mas olotes”
Un ejemplo de esta proporcionalidad es:
¿Si 6 alumnos realizan un trabajo en 12 hrs. ¿Cuánto se demorarían si fueran 3 alumnos más?
Se dispone así:
6 alumnos.............12 horas
9 alumnos..............X horas
Cuantos MAS alumnos, MENOS tiempo tardarán. Proporcionalidad inversa. Luego:
12/X = 9/6 (inversa)
De donde:
X = (12)(6)/9
X = 8
Aquí vemos como la proporcionalidad es claramente inversa ya que mientras aumento el número de alumnos disminuyo el tiempo y se usan comúnmente en para saber el tiempo en que acabaran los trabajos si hay determinado número de trabajadores.
Proporcionalidad Mixta
En esta proporcionalidad se muestra una diferencia ya que se combinan los diferentes métodos, como su nombre lo dice es mixta y no por esto quiere decir que sea más difícil ya que es simplemente comparar los datos como en las anteriores lo único q varia es el signo ya que en la incógnita siempre ira un signo negativo y en el dato proporcionado un signo positivo y eso se toma como referencia y simplemente comparas los demás datos para saber si los signos son positivos o negativos, luego de tener todos los signos los acomodas positivo con positivo y se divide entre los negativos obteniendo así tu resultado.
NOTA: Cuando la proporcionalidad es directa los signos cambian y cuando es inversa se quedan igual
Ejemplo: Si ocho obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30metros. ¿Cuántos días necesitarán diez obraros trabajando 8 horas diarias para realizar 50 metros de muro que falta?
Llamando X al número de días que hay que calcular, se dispone:
8 obreros ...............9 dias ........... 6 h ...........30 mts
10 obreros .............X dias ........... 8 h ........... 50 mts
Se relacionan las distintas magnitudes con la magnitud de la incógnita, considerando en cada relación que las magnitudes que no intervienen en ella permanecen constantes.
Así:
8 obreros ........9días
10 obreros...... Xdias
cuántos MAS obreros, tardarán MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X= 10/8
6 h/d ......... 9 días
8 h/d ......... X días
Cuantas MAS horas diarias, necesitan MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X = 8/6
30 m ..........9días
50 m ..........Xdias
Cuantos MAS metros, necesitarán MAS días: Proporcionalidad directa.
9/X = 30/50
Considerando que, en general, ninguna de las magnitudes permanece constante, se verifica que:
9/X =(10/8)(8/6)(30/50) ; 9/X = (10)(8)(30)/(8)(6)(50)
de donde: X= (9)(8)(6)(50)/(10)(8)(30)= 9 días
Podemos notar que esta proporcionalidad es muy sencilla y que no tiene nada de raro simplemente es cuestión de que domines bien las proporcionalidades anteriores porque si sabes la proporcionalidad mixta, sabes la directa y si comprendes la directa, sabes la inversa y si comprendes la inversa pues lo sabes todo.
Primero empezare explicando lo que es proporcionalidad que es una relación entre magnitudes medibles, es decir, que es de un uso muy común entre las personas dentro de su vida cotidiana ya que les ayudan a resolver problemas que se le presenten, existen diferentes tipos de proporcionalidad como lo son la directa, la inversa y la mixta. En la proporcionalidad se puede usar la regla de tres simple.
Proporcionalidad Directa
En esta las cantidades son proporcionales ya que al aumentar una cifra aumenta la otra, en esta es fácil de encontrar la incógnita ya que normalmente en un problema se proporcionan las otras dos cantidades y con esta es muy fácil obtener la respuesta ejemplo:
El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670€ por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto hacendera la factura de un segundo pedido de 17 cajas?
25 cajas ------------ 670€ 17.670
17 cajas ------------- X 25
En este problema se demostró como la proporción es directa ya que al disminuir uno disminuye el otro y es por eso que se dice que es directa, este tipo de proporción se puede emplear en una tienda o en los salarios de un trabajador ya que es algo que necesita este cálculo.
Proporcionalidad Inversa
Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo. En este tipo de proporcionalidad es común ver que mientras una cantidad disminuye la otra aumenta o viceversa mientras una aumenta la otra disminuye, es como un dicho que dice “entre menos burros mas olotes”
Un ejemplo de esta proporcionalidad es:
¿Si 6 alumnos realizan un trabajo en 12 hrs. ¿Cuánto se demorarían si fueran 3 alumnos más?
Se dispone así:
6 alumnos.............12 horas
9 alumnos..............X horas
Cuantos MAS alumnos, MENOS tiempo tardarán. Proporcionalidad inversa. Luego:
12/X = 9/6 (inversa)
De donde:
X = (12)(6)/9
X = 8
Aquí vemos como la proporcionalidad es claramente inversa ya que mientras aumento el número de alumnos disminuyo el tiempo y se usan comúnmente en para saber el tiempo en que acabaran los trabajos si hay determinado número de trabajadores.
Proporcionalidad Mixta
En esta proporcionalidad se muestra una diferencia ya que se combinan los diferentes métodos, como su nombre lo dice es mixta y no por esto quiere decir que sea más difícil ya que es simplemente comparar los datos como en las anteriores lo único q varia es el signo ya que en la incógnita siempre ira un signo negativo y en el dato proporcionado un signo positivo y eso se toma como referencia y simplemente comparas los demás datos para saber si los signos son positivos o negativos, luego de tener todos los signos los acomodas positivo con positivo y se divide entre los negativos obteniendo así tu resultado.
NOTA: Cuando la proporcionalidad es directa los signos cambian y cuando es inversa se quedan igual
Ejemplo: Si ocho obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30metros. ¿Cuántos días necesitarán diez obraros trabajando 8 horas diarias para realizar 50 metros de muro que falta?
Llamando X al número de días que hay que calcular, se dispone:
8 obreros ...............9 dias ........... 6 h ...........30 mts
10 obreros .............X dias ........... 8 h ........... 50 mts
Se relacionan las distintas magnitudes con la magnitud de la incógnita, considerando en cada relación que las magnitudes que no intervienen en ella permanecen constantes.
Así:
8 obreros ........9días
10 obreros...... Xdias
cuántos MAS obreros, tardarán MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X= 10/8
6 h/d ......... 9 días
8 h/d ......... X días
Cuantas MAS horas diarias, necesitan MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X = 8/6
30 m ..........9días
50 m ..........Xdias
Cuantos MAS metros, necesitarán MAS días: Proporcionalidad directa.
9/X = 30/50
Considerando que, en general, ninguna de las magnitudes permanece constante, se verifica que:
9/X =(10/8)(8/6)(30/50) ; 9/X = (10)(8)(30)/(8)(6)(50)
de donde: X= (9)(8)(6)(50)/(10)(8)(30)= 9 días
Podemos notar que esta proporcionalidad es muy sencilla y que no tiene nada de raro simplemente es cuestión de que domines bien las proporcionalidades anteriores porque si sabes la proporcionalidad mixta, sabes la directa y si comprendes la directa, sabes la inversa y si comprendes la inversa pues lo sabes todo.
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