Razon de Cambio

Razon de Cambio

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

En general, en una relación funcional , la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente se calcula mediante un proceso de límite --de la razón , denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.

Ejemplo

En la función lineal , no es necesario tomar el límite pues y la t se cancela en la razón sin necesidad de pasar al límite.

Nótese que es la pendiente de la recta . Y es la razón de cambio de la altura (variable dependiente) respecto a la (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura por unidad de cambio (aumento) en la .

En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.

Término usado para referirse a la relación entre dos cantidades (expresadas en las mismas unidades) mediante la división. Se dice "en razón de a " para denotar que hay unidades de la primera y de la segunda. Generalmente expresada como o bien como . "Una de cal y tres de arena" "El baricentro divide a la mediana en razón de 2 a 1 partiendo del vértice" (Es importante destacar que --en estos ejemplos-- la cantidad de cal no es 1/3 del total sino 1/4, y que la distancia del vértice al baricentro es 2/3 de la mediana.)

Su uso debería estar restringido a contextos en que hay dos cantidades que varían pero que, sin embargo, su razón se mantiene constante. Es decir, a contextos en que las cantidades son directamente proporcionales. "Si dos pelotas pelotas cuestan 28 pesos entonces 6 pelotas cuestan..."

El cociente diferencial de la función se define como


Es importante no sólo porque, al tomar el límite cuando tiende a cero resulta la derivada de la función, sino también porque admite la siguiente interpretación --fundamental para la comprensión de la derivada y para sus aplicaciones:

El cociente diferencial es la pendiente de la secante (recta que corta a la gráfica de ) que pasa por los puntos y
Es debido a esta interpretación del cociente diferencial que se dice que:

La derivada es la pendiente de la tangente a la curva (la gráfica de f(x)) en el punto (x,f(x)).
Asimismo, la se interpreta como una variación de la y debe considerarse pequeña (puesto que a final de cuentas "se va a ir a cero").