Homotecia

Homotecia (Diccionario): Transformación del plano que, dados un centro O y una razón k, transforma un punto M del espacio en otro M' de forma que OM = k · OM'

Homotecia: Una homotecia es una transformacion, en la que se tiene a un punto fijo O y un numero K llamado razon de homotecia y en la que todo punto A es transformado en A' con la propiedad OA' = KOA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa. Tiene las siguientes propiedades: *Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida. *Los segmentos son paralelos. *Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia. Más aún: 1.-La imagen de una recta es otra recta paralela. 2.-Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón. 3.-Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos). 4.-Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva). 5.-Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = . 6.-Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo. 7.-k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º). 8.-|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
9.-|k| < 1 implica una reducción.
10.- k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.
Homotecia en el plano: Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas.Las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.