El Triángulo

Un triángulo es una superficie TRILATERAL.

*Tres Lados

*Tres Ángulos

*Tres Vértices

Para designar un triángulo se emplea el símbolo      y para su plural        .

No importa en qué orden designen las letras.   

Clasificación de Triángulos

Los Triángulos se clasifican según la igualdad o desigualdad de sus lados, o la clase de ángulos que tenían:

Según sus lados:

Triangulo Escaleno: Es aquel en que ninguno de sus lados son iguales. Las letras minúsculas se usan para designar sus lados y siempre las pondremos en correspondencia con sus lados opuestos.

Triangulo Isósceles: Tiene Iguales 2 de sus lados.

Triángulo Equilátero o Acutángulo: Tiene 3 lados iguales    

Según sus Ángulos

Triangulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto y el lado opuesto a el es la hipotenusa y los lados perpendiculares son los catetos.

Triangulo Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor a 90º, es decir, obtuso

Triangulo Acutángulo: Tiene sus ángulos agudos.

Rectas y puntos notables en un triangulo

Las rectas notables son:

*Medianas

*Mediatrices

*Bisectrices

*Altura

*La Mediana es un segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

*La mediatriz es una perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

*La Bisectriz es la recta notable que parte a la mitad el un ángulo.

*La altura es una perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Puntos Notables en un Triángulo

Baricentro: Centro de gravedad del triángulo en donde se cortan las rectas notables.

Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triángulo.

Incentro: Punto donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito en el triángulo.

Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.  

Propiedades de los triángulos.

- La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triangulo.

- En dos triángulos congruentes y ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman Homólogos.

- En todo triángulo un lado es menor que la suma de otros dos y mayor que su diferencia.

- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.  

- En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.

Teoremas sobre los triángulos

- La suma de dos ángulos agudos de un triángulo es igual a 90º.

-La suma de los tres ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos = 360º.    

- Un ángulo externo igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes.

- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Congruencia

Los triángulos congruentes son aquellos que tienen igual forma eh igual tamaño.

Si dos triángulos son congruentes por consiguiente tendrán sus lados y ángulos correspondientes iguales.

Si dos triángulos son congruentes sus elementos homólogos son iguales.  (homólogos = correspondientes)

Razones y proporciones

Razones:

-Razón de un número “a” a otro número “b” de la misma especie, es el cociente indicado del primero entre el segundo.

-El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente.

Proporciones:

-La igualdad de dos razones es una proporción.

-Una proporción se escribe a:b = c:d, como “c” es a “d”.

-Las literales “a” y “b” son los extremos y “c” y “d” son los medios.

-Si los medios son iguales la proporción es continua 2:8::8:32.

- El cuarto término de una proporción se denomina cuarta proporciona 2:3=4:x. 

- Si los dos medios de una proporción son iguales, se denomina medio proporcional entre el primero y el cuarto 27:9=9:3.

- La tercera proporcional es el cuarto término de una proporción en que los medios son iguales como a:b=b:c, b es la media proporcional de “a” y “c”, y “c” es la tercera proporcional. 

Propiedades de las proporciones

-En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos:  a:b::c:d entonces ad=bc.

-Una proporción se puede transformar en otra, invirtiendo los términos e cada razón 2:x::8:5 entonces x:2::5:8.

-En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido. En a:b::c:d;a=bc/d o d=bc/a.

-En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido. En x:y:w; y=xw/z o z=xw/y.

-La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Si b3:x::x:27;x²=81; x=81=9.    

Semejanza

-Los polígonos semejantes tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño.

-Si dos figuras son semejantes llamamos partes homologas a aquella parte de una de las figuras y su imagen bajo la semejanza.

-Se denominan polígonos semejantes a los que tienen sus ángulos correspondientes iguales.

Razón de semejanza

-Es la razón de dos lados homólogos.

*Teorema básico de la proporcionalidad:

Toda recta paralela a uno de los lados rectos de un triángulo determina un triángulo semejante al dado.

Teoremas:

*Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

*Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes en ángulo comprendido.

*Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos proporcionales.

Teorema de Pitágoras

El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

a²+b²=c²