Dice:
•Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos que determinan dichas paralelas en las rectas son proporcionales a los segmentos que la determinan.
24 nov 2011
El Triángulo
Un triángulo es una superficie TRILATERAL.
*Tres Lados
*Tres Ángulos
*Tres VérticesPara designar un triángulo se emplea el símbolo y para su plural .
No importa en qué orden designen las letras.
Clasificación de Triángulos
Los Triángulos se clasifican según la igualdad o desigualdad de sus lados, o la clase de ángulos que tenían:
Según sus lados:
Triangulo Escaleno: Es aquel en que ninguno de sus lados son iguales. Las letras minúsculas se usan para designar sus lados y siempre las pondremos en correspondencia con sus lados opuestos.
Triangulo Isósceles: Tiene Iguales 2 de sus lados.
Triángulo Equilátero o Acutángulo: Tiene 3 lados iguales
Según sus Ángulos
Triangulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto y el lado opuesto a el es la hipotenusa y los lados perpendiculares son los catetos.
Triangulo Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor a 90º, es decir, obtuso
Triangulo Acutángulo: Tiene sus ángulos agudos.
Rectas y puntos notables en un triangulo
Las rectas notables son:
*Medianas
*Mediatrices
*Bisectrices
*Altura
*La Mediana es un segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
*La mediatriz es una perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.
*La Bisectriz es la recta notable que parte a la mitad el un ángulo.
*La altura es una perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Puntos Notables en un Triángulo
Baricentro: Centro de gravedad del triángulo en donde se cortan las rectas notables.
Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triángulo.
Incentro: Punto donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito en el triángulo.
Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.
Propiedades de los triángulos.
- La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triangulo.
- En dos triángulos congruentes y ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman Homólogos.
- En todo triángulo un lado es menor que la suma de otros dos y mayor que su diferencia.
- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
- En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.
Teoremas sobre los triángulos
- La suma de dos ángulos agudos de un triángulo es igual a 90º.
-La suma de los tres ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos = 360º.
- Un ángulo externo igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Congruencia
Los triángulos congruentes son aquellos que tienen igual forma eh igual tamaño.
Si dos triángulos son congruentes por consiguiente tendrán sus lados y ángulos correspondientes iguales.
Si dos triángulos son congruentes sus elementos homólogos son iguales. (homólogos = correspondientes)
Razones y proporciones
Razones:
-Razón de un número “a” a otro número “b” de la misma especie, es el cociente indicado del primero entre el segundo.
-El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente.
Proporciones:
-La igualdad de dos razones es una proporción.
-Una proporción se escribe a:b = c:d, como “c” es a “d”.
-Las literales “a” y “b” son los extremos y “c” y “d” son los medios.
-Si los medios son iguales la proporción es continua 2:8::8:32.
- El cuarto término de una proporción se denomina cuarta proporciona 2:3=4:x.
- Si los dos medios de una proporción son iguales, se denomina medio proporcional entre el primero y el cuarto 27:9=9:3.
- La tercera proporcional es el cuarto término de una proporción en que los medios son iguales como a:b=b:c, b es la media proporcional de “a” y “c”, y “c” es la tercera proporcional.
Propiedades de las proporciones
-En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos: a:b::c:d entonces ad=bc.
-Una proporción se puede transformar en otra, invirtiendo los términos e cada razón 2:x::8:5 entonces x:2::5:8.
-En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido. En a:b::c:d;a=bc/d o d=bc/a.
-En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido. En x:y:w; y=xw/z o z=xw/y.
-La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Si b3:x::x:27;x²=81; x=81=9.
Semejanza
-Los polígonos semejantes tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño.
-Si dos figuras son semejantes llamamos partes homologas a aquella parte de una de las figuras y su imagen bajo la semejanza.
-Se denominan polígonos semejantes a los que tienen sus ángulos correspondientes iguales.
Razón de semejanza
-Es la razón de dos lados homólogos.
*Teorema básico de la proporcionalidad:
Toda recta paralela a uno de los lados rectos de un triángulo determina un triángulo semejante al dado.
Teoremas:
*Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
*Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes en ángulo comprendido.
*Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos proporcionales.
Teorema de Pitágoras
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
a²+b²=c²
El Aporte De Los Obstáculos Epistemologicos.
Introducción:
En el presente tema explicare el motivo de la deserción en la materia de química siendo que es impartida por diferentes maestros y que los jóvenes que la están cursando nuevamente siguen obteniendo los mismos resultados sin un buen resultado. Hay un gran nivel de deserción y esto es muy preocupante y se debe de encontrar rápidamente una solución para sus causantes y encontrar nuevos métodos para lograr un mejor aprendizaje.
Referencias Conceptuales:
Se hace un gran énfasis en las concepciones con que cuenta el alumno con las cuales forman sus ideas y las representaciones mentales a partir de la vida real. A partir de la teoría de Ausbel surge un estudio a cerca de las teorías que tiene el alumno y en dicha teoría se menciona la importancia que tiene tener un conocimiento previo para así lograr que el joven tenga un aprendizaje significativo y no uno memorístico. Dicha investigación se pone en marcha debido a que cuando el alumno proporcionaba ideas no acordes con las ideas del maestro se creía que estas ideas eran erróneas o simples equivocaciones por parte del alumno. Pero después de analizarlos se noto que solo eran conocimientos mal aprendidos en la forma de relacionar la información, mala conceptualización que engloba en las concepciones alternativas.
Obstáculos epistemológicos
Los obstáculos epistemológicos son formas arraigadas de pensar también se consideran como antiguas estructuras tanto conceptuales como metodológicas, que tuvieron su validez en el pasado, pero en la actualidad se contraponen al avance del conocimiento científico, es por esto que se le consideran “OBSTACULOS”.
Obstáculos del que aprende:
-Obstáculos relacionados directamente con la percepción:
-Con la mala percepción del contenido no crea una buena conceptualización de este y debido a esto es que no razona la información.
-Obstáculos relacionados indirectamente con la percepción:
-Cuando no se comprende la intuición hace que exista una confusión.
-Obstáculos “Laguna”:
-No entiende algún concepto por el grado de dificultad del lenguaje y es por ello que no crea un buen concepto.
-Obstáculos correspondientes a distintas formas de relacionar la información:
-No existe una vinculación entre las informaciones proporcionadas pues no cuenta con la habilidad para llevar a cabo una transversalidad de contenidos para que así pueda comprender la clase.
Obstáculo del que enseña:
- Cree que todo lo sabe.
- Evalúa y explica desde su lógica.
Solución:
- Que el alumno aprenda.
- Comprensión.
- Orientar la clase y actividades.
- Ayudar al alumno a solucionar sus errores en el proceso del aprender.
La intervención didáctica a partir de los conocimientos de los obstáculos
En las ciencias la didáctica no es una disciplina que pueda prescribir como enseñar debido a que este es un proceso en el cual interactúan diversas variables relacionadas con el contenido que se debe enseñar. Todos los modelos que parten de la identificación de los obstáculos de los estudiantes se encuentran dentro de la perspectiva de los modelos socio constructivistas, es decir, que los que consideran que es el alumno quien construye su propio conocimiento interactuando con sus compañeros y con los propios adultos.
3 nov 2011
Relevancia en la profesión docente
En las ultimas décadas la profesión docente ha ido adquiriendo una gran importancia en la vida de las personas, ya que como profesionales de la educación fortalecen las capacidades intelectuales de los estudiantes, potencian el aprendizaje significativo, favorecen el desarrollo del pensamiento critico y científico e intervienen para adquirir nuevas formas de convivencia democrática en el aula multicultural y diversa ya que su finalidad es desarrollar en los estudiantes competencias que son necesarias para que sigan aprendiendo a lo largo de su vida.
En la actualidad la sociedad exige que el docente tenga conocimientos y competencias que van mas allá de su formación inicial y de la propia experiencia. También requiere de nuevas capacidades para el pensamiento complejo, así como un pensamiento mas integral del mundo; conocer los contenidos curriculares; planificar, desarrollar y evaluar formativamente el proceso de enseñanza y aprendizaje potenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de los aprendizajes esperados, atendiendo al nivel y formación previa de los estudiantes, entre otros más. Asimismo el profesor requiere acercarse a las tecnologías de la comunicación; atender los procesos administrativos que la escuela demanda e informar y asesorar a las familias acerca de los logros y tropiezos de sus hijos, además de brindar las orientaciones necesarias para apoyarles.
Los paradigmas que los docentes del siglo XXI deben de tener son :
Aprender a Aprender: La educación debe sentar las bases que permitan seguir aprendiendo durante toda la vida.
Aprender a Hacer: Que las personas que tienen conocimiento puedan aplicarlo adecuadamente es una de las cuestiones centrales para la resolución de problemas.
Aprender a Ser: Se trata de promover un adecuado desarrollo psicosocial y de conocimiento de las emociones para la autorregulación y el ejercicio de la autonomía.
Aprender a Convivir: Esta estrechamente vinculado con la importancia de aprender a ser personas y seres humanos, se encuentran las capacidades para convivencia cívica y democrática, otra de las dimensiones humanas presentes en la reforma educativa.
Disciplina que limita derechos: Privilegiar la disciplina y obediencia por encima del aprendizaje.
Descontextualización: El aprendizaje debe ser sustantivo, acorde con los intereses y realidades de los alumnos, se deja atrás la enseñanza memorística y abstracta sin concreción, ni aplicación.
Homogeneización y normalización: Es indispensable valorar la diversidad y particularidades de los estudiantes
Autoritarismo: La sumisión al profesor como figura de autoridad y no el desarrollo de criterios propios del estudiante.
Relevancia de la profesión docente
La practica docente se entiende como un proceso formativo que compete a cada maestro pero también al colectivo; esta adquiere una dimensión significativa cuando se expresa en el colectivo docente, lo cual se ve reflejado en cambios importantes en el quehacer educativo en las escuelas. Con esta razón se enfoca tanto en el programa de Competencias para la vida para lograr el desarrollo pleno e integral de las niñas, niños y adolescentes hacia la generación de competencias y capacidades para la vida personal, publica y laboral, tales como los aprendizajes que les brinden capacidades necesarias para tener acceso a las oportunidades, el bienestar, la libertad y el ejercicio de los derechos.
COMPETENCIAS DOCENTES EN EL SIGLO XXI
La labor docente se ha ido volviendo cada vez mas compleja, ardua y desafiante, en especial frente a la falacia de que los maestros pueden ser desplazados eventualmente por el vertiginoso avance de las tecnologías de la información y la comunicación. El mundo globalizado del siglo XXI presenta muchos retos en la cotidianidad de los niños y los jóvenes quienes requieren el desarrollo de varios tipos de saberes, como los ha definido la UNESCO: saber aprender, saber ser, saber hacer, saber convivir. Integrar los conocimientos habilidades y valores necesarios para ello, implica un gran esfuerzo de padres y maestros. El avance del conocimiento y la innovación en los modelos pedagógicos están obligando al ejercicio de mas de un papel en la docencia: facilitador del aprendizaje, tutor, orientador educativo, diseñador de materiales didácticos, elaborador de instrumentos de evaluación, asesor de padres, mentor o guía de colegas novatos, etc.
Elena Lucchetti propone una nueva matriz de formación docente que responda a las exigencias de la educación contemporánea que implica formarse en y para: *Diversidad de la sociedad *Educación permanente *Trabajo por competencias *Selección de contenidos *Empleo de otros espacios curriculares *Favorecer la autonomía o capacidad de ser independiente *Fomentar la participación *Articular interareas, interciclos e interniveles. *Resolución de problemas y el trabajo por proyectos *Resolución de conflictos Álvaro Marchesi dice que en la figura docente se interceptan tres esferas: la de las competencias profesionales, la de las emociones y la de la responsabilidad ética y social y sus competencias profesionales son: *Fomentar el deseo de los alumnos por ampliar su conocimiento. *Cuidar la adecuada convivencia escolar *Favorecer la autonomía moral de los alumnos *Desarrollar una educación multicultural *Cooperar con la familia *Trabajar en colaboración y equipo con otros compañeros.
¿Cómo deben de ser los profesores?
Los profesores ahora deben de ser generadores, innovadores y experimentadores de conocimientos y actitudes utilizándolas en las aulas, con sus colegas y en las instituciones a lo largo de la vida.
Aprender a reflexionar a partir de la propia practica.
Es transformar las practicas que realiza un docente, ósea que consiste en construir lasos entre lo que se hace en el aula y los nuevos retos educativos que se presentan y que responden a los actuales enfoques de la educación , así como en la incorporación de estrategias didácticas novedosas y el desarrollo de nuevas competencias profesionales que implican un proceso de actualización.
La reflexión de la practica docente permite comprender las diversas transformaciones que se viven en el ámbito personal y profesional, y se convierte en necesaria cuando se pretende la mejora permanente del quehacer del maestro, acción que se maximiza al presentarse un cambio de paradigmas o un nuevo enfoque curricular.
La practica docente no se da en el vacío ni en la ilusión de improvisación y lucidez del maestro, sino, mas bien, en un hambitus social.
La Identidad Profesional del Maestro
Hay varios ámbitos inter relacionados con la identidad profesional del maestro como lo es: mejorar sus competencias profesionales y su preparación, cuidar su equilibrio emocional, situar la profesión docente en la dimensión ética que le corresponde y revalorar el prestigio de la profesión docente ante una sociedad que necesita y demanda su profesionalismo.
Actualmente a los profesores se les obliga a disponer diferentes competencias y habilidades como lo son: mantener la autoridad, demostrar seguridad y confianza, dialogar, negociar, comprender, mantener firme su esquema de valores. Condiciones que implican un fortalecimiento de su condiciones personal y profesional.
En la actualidad la sociedad exige que el docente tenga conocimientos y competencias que van mas allá de su formación inicial y de la propia experiencia. También requiere de nuevas capacidades para el pensamiento complejo, así como un pensamiento mas integral del mundo; conocer los contenidos curriculares; planificar, desarrollar y evaluar formativamente el proceso de enseñanza y aprendizaje potenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de los aprendizajes esperados, atendiendo al nivel y formación previa de los estudiantes, entre otros más. Asimismo el profesor requiere acercarse a las tecnologías de la comunicación; atender los procesos administrativos que la escuela demanda e informar y asesorar a las familias acerca de los logros y tropiezos de sus hijos, además de brindar las orientaciones necesarias para apoyarles.
Los paradigmas que los docentes del siglo XXI deben de tener son :
Aprender a Aprender: La educación debe sentar las bases que permitan seguir aprendiendo durante toda la vida.
Aprender a Hacer: Que las personas que tienen conocimiento puedan aplicarlo adecuadamente es una de las cuestiones centrales para la resolución de problemas.
Aprender a Ser: Se trata de promover un adecuado desarrollo psicosocial y de conocimiento de las emociones para la autorregulación y el ejercicio de la autonomía.
Aprender a Convivir: Esta estrechamente vinculado con la importancia de aprender a ser personas y seres humanos, se encuentran las capacidades para convivencia cívica y democrática, otra de las dimensiones humanas presentes en la reforma educativa.
Disciplina que limita derechos: Privilegiar la disciplina y obediencia por encima del aprendizaje.
Descontextualización: El aprendizaje debe ser sustantivo, acorde con los intereses y realidades de los alumnos, se deja atrás la enseñanza memorística y abstracta sin concreción, ni aplicación.
Homogeneización y normalización: Es indispensable valorar la diversidad y particularidades de los estudiantes
Autoritarismo: La sumisión al profesor como figura de autoridad y no el desarrollo de criterios propios del estudiante.
Relevancia de la profesión docente
La practica docente se entiende como un proceso formativo que compete a cada maestro pero también al colectivo; esta adquiere una dimensión significativa cuando se expresa en el colectivo docente, lo cual se ve reflejado en cambios importantes en el quehacer educativo en las escuelas. Con esta razón se enfoca tanto en el programa de Competencias para la vida para lograr el desarrollo pleno e integral de las niñas, niños y adolescentes hacia la generación de competencias y capacidades para la vida personal, publica y laboral, tales como los aprendizajes que les brinden capacidades necesarias para tener acceso a las oportunidades, el bienestar, la libertad y el ejercicio de los derechos.
COMPETENCIAS DOCENTES EN EL SIGLO XXI
La labor docente se ha ido volviendo cada vez mas compleja, ardua y desafiante, en especial frente a la falacia de que los maestros pueden ser desplazados eventualmente por el vertiginoso avance de las tecnologías de la información y la comunicación. El mundo globalizado del siglo XXI presenta muchos retos en la cotidianidad de los niños y los jóvenes quienes requieren el desarrollo de varios tipos de saberes, como los ha definido la UNESCO: saber aprender, saber ser, saber hacer, saber convivir. Integrar los conocimientos habilidades y valores necesarios para ello, implica un gran esfuerzo de padres y maestros. El avance del conocimiento y la innovación en los modelos pedagógicos están obligando al ejercicio de mas de un papel en la docencia: facilitador del aprendizaje, tutor, orientador educativo, diseñador de materiales didácticos, elaborador de instrumentos de evaluación, asesor de padres, mentor o guía de colegas novatos, etc.
Elena Lucchetti propone una nueva matriz de formación docente que responda a las exigencias de la educación contemporánea que implica formarse en y para: *Diversidad de la sociedad *Educación permanente *Trabajo por competencias *Selección de contenidos *Empleo de otros espacios curriculares *Favorecer la autonomía o capacidad de ser independiente *Fomentar la participación *Articular interareas, interciclos e interniveles. *Resolución de problemas y el trabajo por proyectos *Resolución de conflictos Álvaro Marchesi dice que en la figura docente se interceptan tres esferas: la de las competencias profesionales, la de las emociones y la de la responsabilidad ética y social y sus competencias profesionales son: *Fomentar el deseo de los alumnos por ampliar su conocimiento. *Cuidar la adecuada convivencia escolar *Favorecer la autonomía moral de los alumnos *Desarrollar una educación multicultural *Cooperar con la familia *Trabajar en colaboración y equipo con otros compañeros.
¿Cómo deben de ser los profesores?
Los profesores ahora deben de ser generadores, innovadores y experimentadores de conocimientos y actitudes utilizándolas en las aulas, con sus colegas y en las instituciones a lo largo de la vida.
Aprender a reflexionar a partir de la propia practica.
Es transformar las practicas que realiza un docente, ósea que consiste en construir lasos entre lo que se hace en el aula y los nuevos retos educativos que se presentan y que responden a los actuales enfoques de la educación , así como en la incorporación de estrategias didácticas novedosas y el desarrollo de nuevas competencias profesionales que implican un proceso de actualización.
La reflexión de la practica docente permite comprender las diversas transformaciones que se viven en el ámbito personal y profesional, y se convierte en necesaria cuando se pretende la mejora permanente del quehacer del maestro, acción que se maximiza al presentarse un cambio de paradigmas o un nuevo enfoque curricular.
La practica docente no se da en el vacío ni en la ilusión de improvisación y lucidez del maestro, sino, mas bien, en un hambitus social.
La Identidad Profesional del Maestro
Hay varios ámbitos inter relacionados con la identidad profesional del maestro como lo es: mejorar sus competencias profesionales y su preparación, cuidar su equilibrio emocional, situar la profesión docente en la dimensión ética que le corresponde y revalorar el prestigio de la profesión docente ante una sociedad que necesita y demanda su profesionalismo.
Actualmente a los profesores se les obliga a disponer diferentes competencias y habilidades como lo son: mantener la autoridad, demostrar seguridad y confianza, dialogar, negociar, comprender, mantener firme su esquema de valores. Condiciones que implican un fortalecimiento de su condiciones personal y profesional.
Homotecia
Homotecia (Diccionario): Transformación del plano que, dados un centro O y una razón k, transforma un punto M del espacio en otro M' de forma que OM = k · OM'
Homotecia: Una homotecia es una transformacion, en la que se tiene a un punto fijo O y un numero K llamado razon de homotecia y en la que todo punto A es transformado en A' con la propiedad OA' = KOA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa. Tiene las siguientes propiedades: *Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida. *Los segmentos son paralelos. *Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia. Más aún: 1.-La imagen de una recta es otra recta paralela. 2.-Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón. 3.-Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos). 4.-Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva). 5.-Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = . 6.-Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo. 7.-k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º). 8.-|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
9.-|k| < 1 implica una reducción.
10.- k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.
Homotecia en el plano: Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas.Las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.
Homotecia: Una homotecia es una transformacion, en la que se tiene a un punto fijo O y un numero K llamado razon de homotecia y en la que todo punto A es transformado en A' con la propiedad OA' = KOA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa. Tiene las siguientes propiedades: *Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida. *Los segmentos son paralelos. *Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia. Más aún: 1.-La imagen de una recta es otra recta paralela. 2.-Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón. 3.-Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos). 4.-Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva). 5.-Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = . 6.-Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo. 7.-k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º). 8.-|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
9.-|k| < 1 implica una reducción.
10.- k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.
Homotecia en el plano: Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas.Las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.
29 abr 2011
Razon de Cambio
Razon de Cambio
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
En general, en una relación funcional , la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente se calcula mediante un proceso de límite --de la razón , denominada cociente diferencial.
En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.
Ejemplo
En la función lineal , no es necesario tomar el límite pues y la t se cancela en la razón sin necesidad de pasar al límite.
Nótese que es la pendiente de la recta . Y es la razón de cambio de la altura (variable dependiente) respecto a la (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura por unidad de cambio (aumento) en la .
En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.
Término usado para referirse a la relación entre dos cantidades (expresadas en las mismas unidades) mediante la división. Se dice "en razón de a " para denotar que hay unidades de la primera y de la segunda. Generalmente expresada como o bien como . "Una de cal y tres de arena" "El baricentro divide a la mediana en razón de 2 a 1 partiendo del vértice" (Es importante destacar que --en estos ejemplos-- la cantidad de cal no es 1/3 del total sino 1/4, y que la distancia del vértice al baricentro es 2/3 de la mediana.)
Su uso debería estar restringido a contextos en que hay dos cantidades que varían pero que, sin embargo, su razón se mantiene constante. Es decir, a contextos en que las cantidades son directamente proporcionales. "Si dos pelotas pelotas cuestan 28 pesos entonces 6 pelotas cuestan..."
El cociente diferencial de la función se define como
Es importante no sólo porque, al tomar el límite cuando tiende a cero resulta la derivada de la función, sino también porque admite la siguiente interpretación --fundamental para la comprensión de la derivada y para sus aplicaciones:
El cociente diferencial es la pendiente de la secante (recta que corta a la gráfica de ) que pasa por los puntos y
Es debido a esta interpretación del cociente diferencial que se dice que:
La derivada es la pendiente de la tangente a la curva (la gráfica de f(x)) en el punto (x,f(x)).
Asimismo, la se interpreta como una variación de la y debe considerarse pequeña (puesto que a final de cuentas "se va a ir a cero").
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
En general, en una relación funcional , la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente se calcula mediante un proceso de límite --de la razón , denominada cociente diferencial.
En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.
Ejemplo
En la función lineal , no es necesario tomar el límite pues y la t se cancela en la razón sin necesidad de pasar al límite.
Nótese que es la pendiente de la recta . Y es la razón de cambio de la altura (variable dependiente) respecto a la (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura por unidad de cambio (aumento) en la .
En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.
Término usado para referirse a la relación entre dos cantidades (expresadas en las mismas unidades) mediante la división. Se dice "en razón de a " para denotar que hay unidades de la primera y de la segunda. Generalmente expresada como o bien como . "Una de cal y tres de arena" "El baricentro divide a la mediana en razón de 2 a 1 partiendo del vértice" (Es importante destacar que --en estos ejemplos-- la cantidad de cal no es 1/3 del total sino 1/4, y que la distancia del vértice al baricentro es 2/3 de la mediana.)
Su uso debería estar restringido a contextos en que hay dos cantidades que varían pero que, sin embargo, su razón se mantiene constante. Es decir, a contextos en que las cantidades son directamente proporcionales. "Si dos pelotas pelotas cuestan 28 pesos entonces 6 pelotas cuestan..."
El cociente diferencial de la función se define como
Es importante no sólo porque, al tomar el límite cuando tiende a cero resulta la derivada de la función, sino también porque admite la siguiente interpretación --fundamental para la comprensión de la derivada y para sus aplicaciones:
El cociente diferencial es la pendiente de la secante (recta que corta a la gráfica de ) que pasa por los puntos y
Es debido a esta interpretación del cociente diferencial que se dice que:
La derivada es la pendiente de la tangente a la curva (la gráfica de f(x)) en el punto (x,f(x)).
Asimismo, la se interpreta como una variación de la y debe considerarse pequeña (puesto que a final de cuentas "se va a ir a cero").
Proporcionalidad
Proporcionalidad
Primero empezare explicando lo que es proporcionalidad que es una relación entre magnitudes medibles, es decir, que es de un uso muy común entre las personas dentro de su vida cotidiana ya que les ayudan a resolver problemas que se le presenten, existen diferentes tipos de proporcionalidad como lo son la directa, la inversa y la mixta. En la proporcionalidad se puede usar la regla de tres simple.
Proporcionalidad Directa
En esta las cantidades son proporcionales ya que al aumentar una cifra aumenta la otra, en esta es fácil de encontrar la incógnita ya que normalmente en un problema se proporcionan las otras dos cantidades y con esta es muy fácil obtener la respuesta ejemplo:
El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670€ por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto hacendera la factura de un segundo pedido de 17 cajas?
25 cajas ------------ 670€ 17.670
17 cajas ------------- X 25
En este problema se demostró como la proporción es directa ya que al disminuir uno disminuye el otro y es por eso que se dice que es directa, este tipo de proporción se puede emplear en una tienda o en los salarios de un trabajador ya que es algo que necesita este cálculo.
Proporcionalidad Inversa
Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo. En este tipo de proporcionalidad es común ver que mientras una cantidad disminuye la otra aumenta o viceversa mientras una aumenta la otra disminuye, es como un dicho que dice “entre menos burros mas olotes”
Un ejemplo de esta proporcionalidad es:
¿Si 6 alumnos realizan un trabajo en 12 hrs. ¿Cuánto se demorarían si fueran 3 alumnos más?
Se dispone así:
6 alumnos.............12 horas
9 alumnos..............X horas
Cuantos MAS alumnos, MENOS tiempo tardarán. Proporcionalidad inversa. Luego:
12/X = 9/6 (inversa)
De donde:
X = (12)(6)/9
X = 8
Aquí vemos como la proporcionalidad es claramente inversa ya que mientras aumento el número de alumnos disminuyo el tiempo y se usan comúnmente en para saber el tiempo en que acabaran los trabajos si hay determinado número de trabajadores.
Proporcionalidad Mixta
En esta proporcionalidad se muestra una diferencia ya que se combinan los diferentes métodos, como su nombre lo dice es mixta y no por esto quiere decir que sea más difícil ya que es simplemente comparar los datos como en las anteriores lo único q varia es el signo ya que en la incógnita siempre ira un signo negativo y en el dato proporcionado un signo positivo y eso se toma como referencia y simplemente comparas los demás datos para saber si los signos son positivos o negativos, luego de tener todos los signos los acomodas positivo con positivo y se divide entre los negativos obteniendo así tu resultado.
NOTA: Cuando la proporcionalidad es directa los signos cambian y cuando es inversa se quedan igual
Ejemplo: Si ocho obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30metros. ¿Cuántos días necesitarán diez obraros trabajando 8 horas diarias para realizar 50 metros de muro que falta?
Llamando X al número de días que hay que calcular, se dispone:
8 obreros ...............9 dias ........... 6 h ...........30 mts
10 obreros .............X dias ........... 8 h ........... 50 mts
Se relacionan las distintas magnitudes con la magnitud de la incógnita, considerando en cada relación que las magnitudes que no intervienen en ella permanecen constantes.
Así:
8 obreros ........9días
10 obreros...... Xdias
cuántos MAS obreros, tardarán MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X= 10/8
6 h/d ......... 9 días
8 h/d ......... X días
Cuantas MAS horas diarias, necesitan MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X = 8/6
30 m ..........9días
50 m ..........Xdias
Cuantos MAS metros, necesitarán MAS días: Proporcionalidad directa.
9/X = 30/50
Considerando que, en general, ninguna de las magnitudes permanece constante, se verifica que:
9/X =(10/8)(8/6)(30/50) ; 9/X = (10)(8)(30)/(8)(6)(50)
de donde: X= (9)(8)(6)(50)/(10)(8)(30)= 9 días
Podemos notar que esta proporcionalidad es muy sencilla y que no tiene nada de raro simplemente es cuestión de que domines bien las proporcionalidades anteriores porque si sabes la proporcionalidad mixta, sabes la directa y si comprendes la directa, sabes la inversa y si comprendes la inversa pues lo sabes todo.
Primero empezare explicando lo que es proporcionalidad que es una relación entre magnitudes medibles, es decir, que es de un uso muy común entre las personas dentro de su vida cotidiana ya que les ayudan a resolver problemas que se le presenten, existen diferentes tipos de proporcionalidad como lo son la directa, la inversa y la mixta. En la proporcionalidad se puede usar la regla de tres simple.
Proporcionalidad Directa
En esta las cantidades son proporcionales ya que al aumentar una cifra aumenta la otra, en esta es fácil de encontrar la incógnita ya que normalmente en un problema se proporcionan las otras dos cantidades y con esta es muy fácil obtener la respuesta ejemplo:
El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670€ por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto hacendera la factura de un segundo pedido de 17 cajas?
25 cajas ------------ 670€ 17.670
17 cajas ------------- X 25
En este problema se demostró como la proporción es directa ya que al disminuir uno disminuye el otro y es por eso que se dice que es directa, este tipo de proporción se puede emplear en una tienda o en los salarios de un trabajador ya que es algo que necesita este cálculo.
Proporcionalidad Inversa
Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo. En este tipo de proporcionalidad es común ver que mientras una cantidad disminuye la otra aumenta o viceversa mientras una aumenta la otra disminuye, es como un dicho que dice “entre menos burros mas olotes”
Un ejemplo de esta proporcionalidad es:
¿Si 6 alumnos realizan un trabajo en 12 hrs. ¿Cuánto se demorarían si fueran 3 alumnos más?
Se dispone así:
6 alumnos.............12 horas
9 alumnos..............X horas
Cuantos MAS alumnos, MENOS tiempo tardarán. Proporcionalidad inversa. Luego:
12/X = 9/6 (inversa)
De donde:
X = (12)(6)/9
X = 8
Aquí vemos como la proporcionalidad es claramente inversa ya que mientras aumento el número de alumnos disminuyo el tiempo y se usan comúnmente en para saber el tiempo en que acabaran los trabajos si hay determinado número de trabajadores.
Proporcionalidad Mixta
En esta proporcionalidad se muestra una diferencia ya que se combinan los diferentes métodos, como su nombre lo dice es mixta y no por esto quiere decir que sea más difícil ya que es simplemente comparar los datos como en las anteriores lo único q varia es el signo ya que en la incógnita siempre ira un signo negativo y en el dato proporcionado un signo positivo y eso se toma como referencia y simplemente comparas los demás datos para saber si los signos son positivos o negativos, luego de tener todos los signos los acomodas positivo con positivo y se divide entre los negativos obteniendo así tu resultado.
NOTA: Cuando la proporcionalidad es directa los signos cambian y cuando es inversa se quedan igual
Ejemplo: Si ocho obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30metros. ¿Cuántos días necesitarán diez obraros trabajando 8 horas diarias para realizar 50 metros de muro que falta?
Llamando X al número de días que hay que calcular, se dispone:
8 obreros ...............9 dias ........... 6 h ...........30 mts
10 obreros .............X dias ........... 8 h ........... 50 mts
Se relacionan las distintas magnitudes con la magnitud de la incógnita, considerando en cada relación que las magnitudes que no intervienen en ella permanecen constantes.
Así:
8 obreros ........9días
10 obreros...... Xdias
cuántos MAS obreros, tardarán MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X= 10/8
6 h/d ......... 9 días
8 h/d ......... X días
Cuantas MAS horas diarias, necesitan MENOS días: Proporcionalidad inversa.
9/X = 8/6
30 m ..........9días
50 m ..........Xdias
Cuantos MAS metros, necesitarán MAS días: Proporcionalidad directa.
9/X = 30/50
Considerando que, en general, ninguna de las magnitudes permanece constante, se verifica que:
9/X =(10/8)(8/6)(30/50) ; 9/X = (10)(8)(30)/(8)(6)(50)
de donde: X= (9)(8)(6)(50)/(10)(8)(30)= 9 días
Podemos notar que esta proporcionalidad es muy sencilla y que no tiene nada de raro simplemente es cuestión de que domines bien las proporcionalidades anteriores porque si sabes la proporcionalidad mixta, sabes la directa y si comprendes la directa, sabes la inversa y si comprendes la inversa pues lo sabes todo.
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